成年私生子在特定情况下有权要求父亲承担费用。根据《民法典》，父母对未成年及不能独立生活的子女有抚养义务，不履行则子女有要求给付抚养费的权利，包括教育和医疗费用。若不及时处理，可能导致子女生活困难，权益受损。
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有权要求。具体操作：1.若能协商，可与父亲直接沟通，明确费用承担；2.协商无果，收集证据，如出生证明、医疗费用单据等；3.向法院提起诉讼，请求判决父亲承担相应费用；4.诉讼中，积极举证，阐述自身无法独立生活及父亲未履行抚养义务的事实。
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成年私生子要求父亲承担费用，可通过协商或诉讼处理。协商不成时，可选择向法院提起诉讼，要求父亲履行抚养义务。根据具体情况选择最合适的方式，以维护自身合法权益。