针对您提出的‘伤者家属一直拖着不去处理，是否有权要求他们承担额外费用’的问题，首先，根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关司法解释，交通事故的责任认定和赔偿处理应遵循法定程序。若伤者家属无故拖延处理，虽不能直接要求他们承担额外费用，但您可以通过合法途径如申请人民调解、公安机关交通管理部门调解或提起民事诉讼来维护自身权益。在诉讼过程中，若法院认定伤者家属存在故意拖延行为，可能会在一定程度上影响赔偿责任的判定和费用分担。因此，建议您及时采取法律手段，以保障自身合法权益不受侵害。
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从法律角度，提起民事诉讼需准备以下材料：1.交通事故认定书，证明事故发生及责任划分；2.医疗证明、费用清单等，证明伤者损失；3.调解记录或拒绝调解证明，证明已尝试调解无果；4.起诉状，明确诉讼请求、事实和理由；5.个人身份证明及联系方式等。确保材料真实、完整，以便法院审理。
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面对伤者家属在不同阶段提出不同要求的情况，您可以：1.保持冷静，要求对方明确具体的要求和理由；2.根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，评估要求的合理性；3.若要求合理，可协商处理；若不合理，可拒绝并说明理由；4.若协商无果，及时申请人民调解、公安机关交通管理部门调解或提起民事诉讼。